数学-ベクトル



ベクトル(vector)

ベクトルとは、空間における大きさと向きを持った量のことです。

なお、方向の無い量を「スカラー」といいます。

線分ABにおいて、AからBに向かう場合、Aを「始点」Bを「終点」といいます。

↑AB
↑a =(a1,a2)

ベクトルの大きさは「||」で表します。

|↑AB|
|↑a|

ベクトルの演算

交換法則と結合法則が成り立ちます。

↑a + ↑b = ↑b + ↑a
↑a + (↑b + ↑c) = (↑a + ↑b) + ↑c

加算は平行四辺形の対角線と捉えます。

↑a = ↑AB, ↑b = ↑CD
ならば、↑a + ↑b

減算は逆ベクトル(始点と終点が逆になったもの)と捉えます。

↑a = ↑AB, ↑b = ↑CD
ならば、↑a + -(↑b)

ベクトルの成分表示

平面の基本ベクトル

座標平面上における、原点O(0, 0)、E(1, 0)、F(0, 1)に対して直交するベクトルを「平面の基本ベクトル」といいます。

↑e = ↑OE, ↑f = ↑OF

成分表示

任意のベクトル↑pは始点を原点に置くと、x軸ベクトルとy軸ベクトルの和で表すことができます。

また、x軸ベクトルは「↑eのa倍」、y軸ベクトルは「↑fのb倍」と表せます。

「↑OP = a↑e + b↑f」を下記形式に書き換えたものを「成分表示」といい、aを「x成分」、bを「y成分」といいます。

↑OP = (a, b)

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさは、線分OPの長さを求めることと同じであるため、三平方の定理を利用できます。

↑p = (a, b)
|↑p| = √(a^2 + b^2)

位置ベクトル

位置ベクトルとは

位置ベクトルとは、原点を始点とするベクトルのことです。


平面上の基準点を1つ決めて、平面上の任意の点を基準点からのベクトルと考えます。

点が決まればベクトルが決まり、ベクトルを決めれば(基準点を始点として)終点が決まります。

点の位置をベクトルで表すことが位置ベクトルの考え方です。


座標平面上に点P(x, y)に対して、原点Oを始点とする「↑p = ↑OP」を「点Pの位置ベクトル」といいます。

点P(x, y)とベクトル「↑p」は1対1に対応します。


内分点の位置ベクトル

線分ABをm:nの比に分ける(内分する)点Pの位置ベクトルは、次の式で表されます。

↑P = (m↑b + n↑a) / (m + n)

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