数学-三角関数



三角比

三角比とは

直角三角形の三辺の比は、その内角の大きさによって一定となります。

これを三角比といい、以下の記号で表記します。

なお、直角三角形の直角でない内角の角度を「θ(シータ)」と表記します。

sinθ;正弦、サイン、sine=正弦、正弦曲線(sinusoid)
cosθ;余弦、コサイン、cosine=補足して完全にするもの、補足物 
tanθ;正接、タンジェント、tangent=接線、接する

直角三角形(△ABC;∠C=90°;BC=a, AC=b, AB=c)の三角比は以下の通りです。

sinA = a / c
cosA = b / c
tanA = a / b

三角比表(三角関数表)

三角関数表とは、0°から90°まで、1°刻みの三角比の値を表にしたものです。

表からsinθ、cosθ、tanθの近似値を知ることができます。


三角比の相互関係

三角比のうち、どれか1つの値が判明すれば、他の2つの値を求めることができます。

sin^2θ + cos^2θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ
1 + tan^2θ = 1 / cos^2θ

三角関数(trigonometric function)

三角関数とは

三角比はそれぞれ角度θによって決まる値であることから関数として捉え、これらを三角関数と呼びます。

座標上(0,0)に円を描き、角度θだけ動径(辺となる線)を回転させて、動径と円の交点をP(x,y)とします。

点Pのx座標とy座標、円の半径rを用いて以下のように定義します。

sinθ = y座標 / r
cosθ = x座標 / r
tanθ = y座標 / x座標

θ=120°の三角関数であれば以下の通りです。

sin120° = √3 / 2
cos120° = (-1) / 2 = - (1 / 2)
tan120° = √3 / -1 = -√3

正弦曲線(サインカーブ)

正弦曲線とは、「y = sinθ」をグラフに表したときにできる曲線です。

グラフは規則的な波形となり、周期360°で周期的に同じ値をとります。

なお、「y = sinθ」を「-90°平行移動」させた波形は「x = cosθ」で描きます。


三角形の辺と角度

三角形の3辺と3角の大きさを求めることを「三角形を解く」といいます。

正弦定理と余弦定理を用いて三角形を解くことができます。


正弦定理(law of sines)

正弦定理とは、三角形の内角の正弦(sin)とその対辺の長さの関係を示したものです。

三角形(△ABC;BC=a, AC=b, AB=c)の外接円(三角形の3つの頂点を通る円)の半径をRとすると、以下の関係となります。

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

余弦定理(Law of cosines)

余弦定理とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理です。

余弦定理を用いることで、∠Aが鋭角か直角か鈍角かによって、cosAの符号(正負)が判明します。

三角形(△ABC;BC=a, AC=b, AB=c)の余弦定理は以下の通りです。

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC

三角形の面積

三角形の2辺とその間の角が分かると、sinθを利用することで三角形の面積を求めることができます。

三角形(△ABC;BC=a, AC=b, AB=c)の面積Sは以下の通りです。

S = 1/2 * b * c * sinA
S = 1/2 * c * a * sinB
S = 1/2 * a * b * sinC

平行四辺形の面積

平行四辺形は合同な三角形2つと考えることができるので、sinθを利用して面積を求めることが可能です。

S = AB * AD * sinA

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