数学-二次関数



二次関数について

関数(function)とは

関数とは、ある変数xの値によって、一意となるyの値が決まる式のことです。

インプット(xの値)に対応するアウトプット(yの値)が必ずひとつとなり、複数存在することは許されません。

なお、変数とは値が変化する数です。(定数の対義です)

y = f(x)

二次関数(quadratic function)とは

二次関数とは、二次式(次数が2の多項式)によって表される関数のことです。

y = ax^2 + bx + c

関数の値について

関数においてxのとりうる値の範囲を「定義域」といいます。

関数においてyのとりうる値の範囲を「値域」といいます。

関数の定義域におけるyの値が最大のものを「最大値」といいます。

関数の定義域におけるyの値が最小のものを「最小値」といいます。

グラフを描くことで、視覚的に把握することができます。


二次関数のグラフ

関数のグラフ

yがxの関数である場合、xとyを座標(x,y)とみなして変数を変化させると曲線グラフが描かれます。


平行移動

グラフの形を変化させずに、頂点と軸を移動させることを平行移動といいます。

関数y = f(x)のグラフをx軸方向にpだけ平行移動して、y軸方向にqだけ平行移動したグラフは以下の通りです。

y - q = f(x - p)

二次関数y = ax^2 + bx + cのグラフをx軸方向にpだけ平行移動して、y軸方向にqだけ平行移動したグラフは以下の通りです。

y - q = a(x - p)^2 + b(x - p) + c

平方完成

平方完成とは、二次式において二乗の形の項を作り出すための式変形のことです。

二次式を強制的に2乗の形に変形することでグラフとして捉え、頂点の位置や軸の方程式を得るために用いる方法です。

y = ax^2 + bx + c ---> y = a(x - p)^2 + q


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