数学-微分



極限値(limit)

ある関数において、変数をある数に限りなく近づけた際に一定の値に近づくならば、それを「極限値」といいます。

例えば、自然数の逆数の列(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ... )を考えると、数列の第n項はnが大きくなることで0に限りなく近づきます。

この数列は0に「収束する」と考えられ、0をこの数列の「極限値」といいます。


nを限りなく大きくすると極限値Aに収束することを以下のように表記します。

lim[n->∞]an = A

平均変化率

平均変化率とは、関数y = f(x)においてxの値がaからbまで変化するときの変化の割合です。

関数のある区間における平均変化率とは、中間地点の状態を考慮せず、最初と最後を比較してどれだけ変化したかという割合を意味します。

平均変化率 = yの変化量 / xの変化量

関数y = f(x)において、xの値がaからbに変化するとき、f(x)の値はf(a)からf(b)に変化します。

このとき、平均変化率の求め方は以下の通りです。

平均変化率 = f(b) - f(a) / b - a

微分係数(differential coefficient)

微分係数とは、平均変化率の極限値のことです。

微分係数は「f'(a)」と表記します。


関数y = f(x)のx = aにおける微分係数

関数y = f(x)において、x = aを基準にhの幅を持たせた、aからa + hの区間での平均変化率は以下の通りです。

平均変化率 = (f(a + h) - f(a)) / h

この平均変化率の区間幅hを限りなく0に近づけた際に極限値が存在するならば、その値を「y = f(x)のx = aにおける微分係数(または変化率)である」といいます。

つまり、関数y = f(x)のx = aにおける微分係数とは、平均変化率の式でhを限りなく0に近づけた時の値です。

関数y = f(x)のx = aにおける微分係数
  f'(a) = lim[h→0] (f(a + h) - f(a)) / h

導関数(derivative)

導関数とは、微分係数を求める関数です。

例えば、「f'(a) = 2a」はaの値に応じる微分係数を与えるので、ある種の関数であるといえます。

微分係数を求める式の変数をaからxに置き換えます。

関数y = f(x)の導関数
  f'(x) = lim[h->0] (f(x + h) - f(x)) / h

導関数の公式

y = x^nの導関数

これは、次数を下げることとなります。

nが正の整数のとき
  y = x^n  --> y' = nx^(n - 1)

定数関数(変数の値に関わらず、常に同じ値を返す関数)

定数は変化が無いため、微分すると必ず0になります。

kが定数のとき
  y = k    --> y' = 0

微分(differentiation)

微分とは、ある関数の導関数を求めることです。

関数y = f(x)から導関数y = f'(x)を求めることを「微分する」といいます。


微分の公式

kが定数のとき
  y = kf(x)       --> y' = kf'(x)
  y = f(x) + g(x) --> y' = f'(x) + g'(x)
  y = f(x) - g(x) --> y' = f'(x) - g'(x)

関数と微分係数の関係

関数f(x)を微分すると、導関数f'(x)になります。

導関数f'(x)にx = aを代入すると、微分係数f'(a)が判ります。


微分係数とグラフ

微分係数は、曲線の接戦の傾きを意味します。

関数y = f(x)のx = aにおける微分係数f'(a)とは、点(a, f(a))における接戦の傾きです。

接戦の傾きを調べることで、関数の増減を知ることができます。

(曲線上の2点、PとQを通る直線Lがあるとすると、QをPに限りなく近づけた時のLの極限が点Pにおける接線です。)


極値

y'の符号が正から負(または負から正)へと変化するところでは、微分係数つまり接線の傾きが0になります。

y'の符号が正から負に変化する点を「極大」といい、yの値を「極大値」といいます。

y'の符号が負から正に変化する点を「極小」といい、yの値を「極小値」といいます。

極大値と極小値をまとめて,「極値」といいます。


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