数学-指数と対数



指数(exponent)

指数とは

指数とは、同じ数を繰り返し掛ける(累乗する)回数です。

例えば、「2を3乗すると8である」ことから「2を8にする指数は3である」といいます。

aの累乗a^nに対して、nをこの累乗の指数といいます。


指数関数(exponential function)とは

指数関数とは、累乗の概念を自然数より広い範囲に拡張し、指数を変数にした関数です。

以下の指数関数において、aを底といい、指数であるxを変数といいます。

(a > 0かつa≠1)
y = a^x

対数(logarithm)

対数とは

対数とは、「ある数を何回掛ける(累乗する)と目的の数になるのか」と考える場合の掛ける回数です。

指数の見方を変えて、「2を何乗すれば8になるか?3乗である」という概念です。

a^n = Mとなる実数nをaを底とするM(真数)の対数といいます。

対数では「log」という記号を用います。

log2(3) = 8

対数を用いることで有理数に存在しない数を定義することができます。

log2(5) = x
2^x = 5

対数の基本公式

指数法則を対数で表現します。

loga(x) + loga(y) = loga(xy)
loga(x) - loga(y) = loga(x/y)

真数のべき乗は、係数として掛ければよいという性質を用います。

「loga(x) = M」ということは「a^M = x」であり、「loga(x^n) = Mn」と表せます。

loga(x^n) = n * loga(x)

底の変換(底の条件を満たせば、任にの数に底を変換できる)を用います。

loga(b) = logc(b) / logc(a)
(ただし、c > 0, c≠1)

対数関数

以下の形式の関数を対数関数といいます。

y = loga(x)

「対数は指数の逆」であることを裏付けるように,対数関数のグラフは指数関数のグラフのx軸とy軸を入れ替えたものになります。


逆関数

指数関数「y = 2^x」を対数を用いて表現すると「x = log2(y)」となります。

「x = log2(y)」のxとyを入れ替えると、対数関数「y = log2(x)」となります。

このとき、底が共通の指数関数と対数関数は、xとyを逆にしたものであるため、「逆関数の関係にある」といいます。

対数関数=指数関数の逆関数

常用対数

常用対数とは、底を10とする対数です。

ある数の常用対数とは、10を何乗すればその数になるかを考えることです。

例えば、log10(2) ≒ 0.3010, log10(3) ≒ 0.4771, log10(1000) = 3となります。

a = log10(x) ⇔ 10^a = x 

常用対数は、非常に大きな数あるいは非常に小さな数を扱うときに、10進数表記での桁数を知ることができます。

また、「常用対数表」を用いることで、およその値を知ることができます。


関連ページ




スポンサード リンク