数学-数と式



指数法則

指数とは

「a^n」とは、aをn回かけたという意味になり、例えば「2^3」は「2 * 2 * 2」と同じ意味です。

このnを「指数」と呼び、aを「底」と呼びます。

なお、同じ数や文字を何個かかけたものは「累乗」と呼びます。


指数法則とは

指数法則とは、指数の計算における式変形の法則です。

基本となる法則は以下の3つです。

# a > 0とします。
(a ^ m) * (a ^ n) = a ^ (m + n) 
(a ^ m) ^ n = a ^ (m * n) 
(a ^ n) * (b ^ n) = (a * b) ^ n

指数の拡張(整数)

指数は1増える毎に値が二倍になり、指数が1減る毎に値が1/2になります。

「2 ^ 2 = 4」「2 ^ 1 = 2」「2 ^ 0 = 1」となり、「0乗は1である」と定義されます。

指数が負の整数であれば、「2 ^ -1 = 1/2」「2 ^ -2 = 1/4」となります。

a ^ 0 = 1
a ^ -n = 1 / (a ^ n)  (nは自然数)

指数の拡張(有理数)

指数が分数の形をした有理数でも指数法則が成り立ちます。

a ^ (1 / n) = n √a (aのn乗根)
a ^ (m / n) = (n √a) ^ m (aのn乗根のm乗)

分配法則

数や文字などの和や積で表記された式を「整式」といいます。

整式同士の乗法においては、「分配法則」を用いて1つの整式に変形することを「展開する」といいます。


展開公式

整式の乗法を展開します。

(x + a) * (x + b) = x ^ 2 + (a + b) * x + a * b
(a + b) * (a - b) = a ^ 2 - b ^ 2

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + (2 * a * b) + b ^ 2
(a - b) ^ 2 = a ^ 2 - (2 * a * b) + b ^ 2

(a * x + b) * (c * x + d) = (a * c * (x ^ 2)) + (a * d + b * c) * x + b * d

3乗の展開では以下のようになります。

(a + b) ^ 3 = (a ^ 3) + (3 * (a ^ 2) * b) + (3 * a * (b ^ 2)) + (b ^ 3)
(a - b) ^ 3 = (a ^ 3) - (3 * (a ^ 2) * b) + (3 * a * (b ^ 2)) - (b ^ 3)

因数分解

因数分解とは、整式を積の形に変形することです。(つまり、展開の逆手順です。)

以下のようにAという共通となる因数をくくる処理となります。

A * B + A * C = A * (B + C)

因数分解の公式

分配法則を逆方向に用いて各項の「共通因数」をくくります。

公式1 : x ^ 2 + (a + b) * x + a * b = (x + a) * (x + b)
公式2 : a ^ 2 + (2 * a * b) + b ^ 2 = (a + b) ^ 2
      : a ^ 2 - (2 * a * b) + b ^ 2 = (a - b) ^ 2
公式3 : a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)


関連ページ



スポンサード リンク