数学-数の種類



数の種類について

数の種類を構図に表すと以下の通りになります。

複素数
  |--- 実数
  |      |---有理数
  |      |     |---整数
  |      |     |     `---自然数
  |      |     `---分数
  |      |           |---有限小数
  |      |           `---循環小数
  |      `---無理数
  |            `---超越数
  `--- 虚数
         `---純虚数

整数(integer)

整数とは、以下の定義によって表すことができる数です。

例) ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

自然数(Natural number)

自然数とは、整数において正である数(正の整数)です。

高校数学では0を除きますが、大学などでは0を含める場合もあります。

例) 1, 2, 3, 4, 5, ...

実数(Real number)

実数とは、有理数と無理数をあわせた数のことです。

簡単に言い換えれば、「現実世界にある数」や「実在する数」という意味になります。

実数は数直線(平面上に置かれた2点に引かれた線)の上に表現することができます。

数学においては、数直線状上にない数(虚数)があるため、それに対立するような意味で実数としています。


有理数(rational number)

有理数とは、分母・分子が整数の分数で表すことのできる数のことです。

rational numberという名前の通り「ratio = 比」の有る数という意味であり、比で表すことのできる数を指します。

有理数は小数で表すと、有限小数か循環小数のいずれかになります。

例) -1, 0.4, 2/4, 3, ...

無理数(irrational number)

無理数とは、有理数ではない実数のことであり、分母・分子が整数の分数で表すことができない数です。

irrational numberという名前の通り「ratio = 比」で表すことができない数を指します。

無理数は小数で表すと、無限に続き、数が循環していない小数になります。

例) 1/3≒0.3333..., √2≒1.41421356...

有限小数(a finite decimal)

有限小数とは、有理数を小数で表したときに割り切れる数です。

例) 1/2, 3/5, 2/4, ...

無限小数(an infinite decimal)

無限小数とは、有限小数でない小数であり、小数点以下の桁数が限りなく続く小数です。

小数点以下の桁数が循環する小数(循環小数)は有理数を表します。

小数点以下の桁数が循環しない小数(非循環小数)は無理数を表します。


循環小数(recurring decimal, repeating decimal)

循環小数とは、有理数を小数で表したときに割り切れない数です。

例) 2/3, 1/7, ...

非循環小数

非循環小数とは、無理数を小数で表したときに割り切れない数です。

例) 2/3=0.666...

複素数(complex number)

数学には、二次方程式の解など、実数の正解には存在しない数があります。

例えば二乗すると-1になる「x ^ 2 = -1」は、実数の世界では存在しません。

このような条件を満たす数を虚数単位といい、「i」で定義します。

「i」を用いて、「a + b・i(a,bは実数)」の形で表すことのできる数を複素数といいます。


虚数(imaginary number)

虚数とは、実数ではない複素数のことです。

複素数「a + b・i(a, b は実数、i は虚数単位)」のうち、「b ≠ 0」を満たすものです。


純虚数(purely imaginary number)

複素数「a + b・i(a, b は実数、i は虚数単位)」のうち、「a = 0」かつ「b ≠ 0」を満たすものです。


超越数(transcendental number)

超越数とは、代数方程式の解とならない複素数です。

実超越数はすべて無理数(円周率,自然対数の底など)です。


約数について

約数とは、1以上の自然数を割り切れる1以上の自然数のことです。


公約数

公約数とは2つ以上の自然数に共通な約数です。

公約数の中で最大値となる数を「最大公約数」といいます。

なお、最大公約数が1になる数同士(例えば35と24)は「互いに素」といいます。


公倍数

公倍数とは、2つ以上の自然数に共通な倍数です。

公倍数の中で最小値となる数を「最小公倍数」といいます。


素数(prime number)について

素数とは、2以上の自然数の内、自分自身と1以外に約数を持たない数です。

(なお、素数ではない数を合成数といいます。)

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

素因数(prime factor)

素因数とは、素数の因数です。

整数が積の形で表されるとき、その1つ1つの自然数をもとの数の「因数」といいます。

例えば60を積の形にすると素数の因数が表されます。

60 = 2 × 2 × 3 × 5

自然数をすべて素因数の積の形で表すことを「素因数分解」といいます。


その他の数

偶数 2で割り切れる自然数
奇数 2で割り切れない自然数
単偶数 2で割り切れるが4で割り切れない自然数
平方数 自然数を2乗した数
立方数 自然数を3乗した数
三角数 数を三角形状に並べたときにそこに並ぶ総数の数(1, 3, 6, 10, 15…)
完全数 その数自身を除く正の約数の和が、その数自身と等しい自然数(6, 28, 496, 8128…)

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