数学-数列



数列

数列とは、一定の規則に従って並べられた数です。

数列を構成する一つ一つの数を「項」といいます。


等差数列

等差数列とは

等差数列とは、一定の値ずつ増減した数列です。

一定の差を「公差」といいます。

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

等差数列の一般項

数列の第n項のことを「一般項」といい、anと表記します。

初項をaとして公差をdとすると、一般項は以下の計算式になります。

an = a + (n - 1)d

等差数列の和

等差数列の項を全て加算することは、台形の面積(S = (上底 + 下底)× 高さ ÷ 2)を求める方法と同様です。

初項a、末項an、公差dの和Snは以下の計算式となります。

Sn = 1/2 * {2a + (n - 1)d}n

等比数列

等比数列とは

等比数列とは、一定の比で増減した数列です。

一定の比のことを「公比」といいます。

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

等比数列の一般項

初項aとして公比rとすると、一般項は以下の計算式になります。

an = a * r^(n- 1)

等比数列の和

初項a、公比rの第n項までの和Snは以下の計算式となります。

公比r ≠ 1の場合
  Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)
公比r = 1の場合
  Sn = na

数列の和

数列の和は「Σ(シグマ)」で表記します。

和の開始項を「k」と表記して、初項以外からの数え上げを表現します。

一般項「an = n^2」の数列を初項(k=1)から第n項までの和は以下の通りです。

Σ[n,k=1]k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2

数列の和の公式

Σを用いた数列の和を求める公式は以下の通りです。

Σ[n,k=1]    = n
Σ[n,k=1]k   = 1/2 * n(n + 1)
Σ[n,k=1]k^2 = 1/6 * n(n + 1)(2n + 1)
Σ[n,k=1]k^3 = {1/2 * n(n + 1)}^2

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