数学-方程式と不等式



二次方程式

二次方程式とは

特定の値(x)に対してのみ成立する式を「方程式」といいます。

2次方程式とは、二次式(xの2乗の項)を含む方程式です。

方程式を満たす値(x)を「解または根」といい、解を求めることを「解く」といいます。

二次方程式を解く方法は「因数分解」と「解の公式」の2方法があります。


二次方程式の解法(因数分解)

積が0であればどちらか一方は0である性質を利用します。

x^2 - x - 12 = 0
(x + 3)(x - 4) = 0
であれば、
(x + 3) = 0 または (x - 4) = 0

因数分解によって次数を低くして、2つの解(-3と4)を求めます。


二次方程式の解法(解の公式)

二次方程式は解の公式を用いることで必ず解くことができます。

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

実数で表すことができる二次方程式の解を「実数解」といいます。

虚数単位を用いることで表すことができる二次方程式の解を「虚数解」といいます。

「b^2 - 4ac」が整数であれば実数解であり、負数であれば虚数解となります。

「b^2 - 4ac = 0」の場合には「重解」といい、1つだけの解はとなります。

「D = b^2 - 4ac」は「判別式」といい、二次方程式の解を判別することが可能です。


虚数単位

解の公式を用いて二次方程式の解を求めた際に、√の中が負数になることがあります。

例えば「√-7」は「2乗すると-7になる数」という意味であり、実数では存在しません。

そこで「2乗すると-1になる数」を「虚数単位(i)」として定義します。

i^2 = -1
√-7 = √7i

複素数

複素数とは、実数aと実数b及び虚数単位iを用いて以下の式で表される数です。

a + bi

「b = 0」ならば実数であり、「b ≠ 0」ならば虚数となります。

複素数に対するaは「実部」といい、bは「虚部」といいます。

複素数は数直線上に存在しないため、大小関係をはかることもできません。


剰余の定理

剰余の定理とは、「整式P(x)をx-aで割った際の余り(剰余)はP(a)である」という法則です。

代入することで余りを計算することができます。

例えば、多項式「P(x) = x^2 + x + 3」を1次式「x - 1」で割る計算は以下のようになります。

P(1) = 12 + 1 + 3 = 5

因数定理

剰余の定理において、余りが0であることは割り切れているという意味になります。

つまり、余りが0となる値はP(x)の因数であるといえます。

このことから以下を因数定理といいます。

整式P(x)において、P(a) = 0 ⇔ P(x)は(x - a)を因数に持つ

二次不等式

不等式が成立するxの値の範囲を「不等式の解」といいます。

二次不等式の基本形は以下の通りです。

ax^2 + bx + c > 0
不等式は「>, <, ≥, ≤」のどれか

グラフとx軸の関係

判別式を用いることでグラフ形の予測を行えます。


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