数学-確率



和の法則(sum law)

2つの事柄AとBにおいて、Aが起こる場合がa通り、Bが起こる場合がb通りであり、AとBが同時に起こらないとする。

この条件のもとで、AあるいはBが起こる場合は、(a + b)通りとなります。

これを「和の法則」といい、Aが起こる場合の個数をn(A)で表すと、以下の式になります。

n(A∪B) = n(A) + n(B)

積の法則(multiplication law)

2つの事柄AとBにおいて、Aが起こる場合がa通り、「そのそれぞれに対して」Bが起こる場合がb通りあるとする。(事柄が同時におきている状態)

この条件のもとで、Aの後にBが起こる場合は(a × b)通りとなります。

これを「積の法則」といい、下記の式になります。

n(A * B) = n(A) * n(B)

順列(Permutation)

順列とは、複数個の中から2つ以上取り出して、順番を区別して1列に並べたときの並べ方のことです。

全体数n個からr個取り出して並べる総数は「nPr」と表記します。


n個のもの全てを並べる順列は「階乗」といい、「!」記号で表記します。

nPn = n!

異なるn個のものからr個取り出して並べる順列の総数は以下の式となります。

nPr = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ... (n - r + 1)
    = n! / (n - r)!

同じものを何度でも利用することを許してr個並べる順列を「重複順列」といいます。

n^r = n * n * n * ... * n

組み合わせ(combination)

組み合わせとは、複数個の中から2つ以上取り出して、取り出し順序や並べ方に関係しない組みのことです。

全体数n個からr個取り出して並べる総数は「nCr」と表記します。

nCr = nPr / r!
    = n! / ((n - r)! * r!)

確率

確率の定義

試行 同じ条件のもとで繰り返し行うことのできる実験や観察で、その結果が偶然に支配されているもの。
事象 試行の結果として生じる事柄や現象。
全事象(標本空間) 事象を全て合わせたもの。起こりうるすべての場合のこと。
根元事象 全事象に属するの一つ一つの要素。それ以上分けることのできない事象。
空事象(φ=ファイ) 根元事象を持たない事象。確率は必ず0になる。
余事象 ある事象が起こらない事象。
同様に確からしい 生じる割合が等しいことを意味します。
統計的確率 過去の統計から判断する
数学的確率 同様に確からしさをもとに計算で求める

確率

ある試行において、根元事象が同様に確からしい場合に事象Aが起こる確率は以下の通りです。

n(A)は事象Aに属する根元事象の数。
n(U)は全事象に属する根元事象の数。
  P(A) = n(A) / n(U)

期待値

期待値とは、ある試行を行った場合にその結果として得られる数値の平均値のことです。

試行によって得られる数値xがx1, x2, x3, ... , xn であり、それぞれの値をとる確率が p1, p2, p3, ... , pn とする場合のxの期待値は以下の計算式になります。

期待値 = x1 * p1 + x2 * p2 + x3 * p3 + ... + xn * p 

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