数学-積分



原始関数

原始関数とは、導関数(微分する前の)の元の関数です。

ある関数 F(x) を微分して f(x) になった場合、f(x) のことを「F(x)の導関数」といいます。(F'(x) = f(x))

このF(x)のことを、「f(x)の原始関数」といいます。


不定積分

不定積分とは、原始関数を求める操作のこと、およびその原始関数の集合です。

原始関数はひとつだけでなく、複数存在します。

例えば、以下の式は微分すると全て「F'(x) = 2x」になることから「f(x) = 2xの不定積分」となります。

F(x) = x^2
F(x) = x^2 + 5
F(x) = x^2 + 3/2

積分定数

f(x)の原始関数の一つをF(x)とすると、他の原始関数は「F(x) + C(Cは定数)」という形で表記することができます。

この定数Cのことを「積分定数」といいます。


積分する

不定積分を求めることを「積分する」といいます。

不定積分は「∫(インテグラル)」記号を用いて以下のように表します。

∫f(x) dx = F(x) + C

不定積分の公式

不定積分は微分すると元に戻ります。

∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) + C (Cは積分定数)

定積分

定積分とは、不定積分に定数を代入して差をとったものです。

関数f(x)の不定積分をF(x)に定数a、bを代入して差をとったF(b) - F(a)を「f(x)のaからbまでの定積分」といいます。

aを下端(かたん)、bを上端(じょうたん)といい、以下のように表記します。

∫(a,b)f(x)dx = [F(x)](a,b) = F(b) - F(a)

定積分の性質

∫(A,B) f(x) dx = -∫(B,A) f(x) dx
∫(A,B) f(x) dx + ∫(B,C) f(x) dx = ∫(A,C) f(x) dx

定積分と面積

定積分は、関数y = f(x)の曲線と軸で挟まれた領域における区間[a、b]の面積を表すことができます。


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