数学-集合



集合について

集合とは

集合とは、条件を満たすものの集まりです。

集合を構成するものを「要素」といい、要素は「集合に属する」といいます。


集合を表す方法

要素を並べて記述する場合、要素を{}に列挙します。

A = {1, 4, 9, 16, ...}

集合の条件で記述する場合、条件を{}に列挙します。

A = { x | x = n ^ 2, nは自然数である}

aは集合Mの要素である(またはaはMに属する)ことを記述する場合、以下の記号を使用します。

a ∈ M

aは集合Mの要素ではない(a ∈ M の否定)であることを記述する場合、以下の記号を使用します。

a ∉ M

部分集合

集合Aが集合Bに含まれるという関係である場合、集合Aは「集合Bの部分集合」であるといいます。

部分集合は「⊂」または「⊃」記号を用いて記述します。

A ⊂ B または B ⊃ A

集合A(部分集合)に属する要素は、必ず集合Bの要素であることから、以下の関係となります。

なお、「⇒」は「ならば」という意味です。

a ∈ A ⇒ a ∈ B

包含関係

複数の集合にまたがる(包含関係)要素の表記は以下の通りです。

A ∩ B : A, B の積集合(交わり);{a; a ∈ A かつ a ∈ B}
A ∪ B : A, B の和集合(結び)  ;{a; a ∈ A または a ∈ B}

空集合

空集合とは、集合として定義することが可能であるが、実際には要素を持たない集合です。

空集合は「φ(ファイ)」で表記します。

A = { x | x ^ 2 = -1 かつxは実数である}
A = {}
A = φ

ド・モルガンの法則

全体集合の部分集合として、2つの集合の間には以下の法則が成り立ちます。

cは補集合の記号です。補集合は集合に属さないことを表します。

   (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc
   (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc

その他の集合に関する概念について

全体集合

ある集合Uを前提として、その部分集合として集合Aや集合Bが存在する場合、集合Uは全体集合であるといいます。

慣例的に、全体集合は「U」で表します。


補集合

補集合とは、集合に属さない要素の集合のことをいいます。


有限集合

有限集合とは、属する要素の数が有限である集合です。

有限集合Aの要素数はn(A)として表します。


必要条件

必要条件とは、ある事柄が成立するために必要な条件です。

命題「AならばB」が成り立つとき、BはAの必要条件といいます。


十分条件

十分条件とは、それがありさえすればある事物が必ず成り立つような条件です。

命題「AならばB」が成り立つとき、AはBであるための十分条件という。



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